Cześć! Zastanawiasz się, czym są sinus, cosinus, tangens i cotangens? Te tajemniczo brzmiące słowa to podstawa trygonometrii, czyli działu matematyki zajmującego się badaniem związków między kątami i bokami w trójkątach. Nie martw się, zaraz wszystko stanie się jasne! Rozłożymy to na czynniki pierwsze.
Trójkąt prostokątny - nasz bohater
Zacznijmy od podstaw. Potrzebujemy trójkąta prostokątnego. Co to takiego? To trójkąt, który ma jeden kąt prosty, czyli kąt o mierze 90 stopni. Oznaczamy go małym kwadracikiem w rogu. Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego nazywamy przeciwprostokątną. Leży on naprzeciwko kąta prostego. Dwa pozostałe boki to przyprostokątne.
Wyobraź sobie, że patrzysz na piramidę. Jej ściana boczna tworzy z podstawą trójkąt. Jeśli podstawa i wysokość ściany są prostopadłe (tworzą kąt prosty), to masz trójkąt prostokątny! Długość pochyłej ściany to przeciwprostokątna, a podstawa i wysokość to przyprostokątne.
Przyprostokątna przyległa i przeciwległa
Teraz wprowadzimy dwa ważne pojęcia: przyprostokątna przyległa i przyprostokątna przeciwległa. Musimy wybrać jeden z kątów ostrych w naszym trójkącie (czyli kąt, który jest mniejszy niż 90 stopni). Przyprostokątna przyległa to ta, która leży obok naszego wybranego kąta i tworzy go razem z przeciwprostokątną. Przyprostokątna przeciwległa leży naprzeciwko naszego kąta.
Pomyśl o drabinie opartej o ścianę. Drabina to przeciwprostokątna. Jeśli patrzymy na kąt między drabiną a ziemią, to ziemia (odcinek od ściany do podstawy drabiny) jest przyprostokątną przyległą, a ściana (odcinek od ziemi do punktu oparcia drabiny) jest przyprostokątną przeciwległą.
Sinus (sin)
Sinus kąta (oznaczamy jako sin α) to stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do długości przeciwprostokątnej. Czyli: sin α = (długość przyprostokątnej przeciwległej) / (długość przeciwprostokątnej). Wartość sinusa kąta zawarta jest zawsze między -1 a 1.
Spójrz na huśtawkę. Wyobraź sobie, że siedzisko huśtawki w najwyższym punkcie tworzy trójkąt prostokątny z linami i pionową linią od punktu zawieszenia. Sinus kąta między liną a pionową linią powie Ci, jaki jest stosunek wysokości, na której znajduje się siedzisko, do długości liny.
Cosinus (cos)
Cosinus kąta (oznaczamy jako cos α) to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do długości przeciwprostokątnej. Czyli: cos α = (długość przyprostokątnej przyległej) / (długość przeciwprostokątnej). Podobnie jak sinus, wartość cosinusa kąta zawarta jest zawsze między -1 a 1.
Wracając do drabiny: cosinus kąta między drabiną a ziemią powie Ci, jaki jest stosunek odległości od ściany do podstawy drabiny do długości drabiny.
Tangens (tan lub tg)
Tangens kąta (oznaczamy jako tan α lub tg α) to stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do długości przyprostokątnej przyległej. Czyli: tan α = (długość przyprostokątnej przeciwległej) / (długość przyprostokątnej przyległej). Tangens może przyjmować dowolne wartości rzeczywiste.
Wyobraź sobie, że wspinasz się na górę. Tangens kąta nachylenia zbocza góry powie Ci, jaki jest stosunek wysokości, na jaką się wspiąłeś, do odległości, jaką przeszedłeś w poziomie.
Cotangens (cot lub ctg)
Cotangens kąta (oznaczamy jako cot α lub ctg α) to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do długości przyprostokątnej przeciwległej. Czyli: cot α = (długość przyprostokątnej przyległej) / (długość przyprostokątnej przeciwległej). Zauważ, że cotangens to odwrotność tangensa. Cotangens również może przyjmować dowolne wartości rzeczywiste.
Ponownie góra: cotangens kąta nachylenia zbocza powie Ci, jaki jest stosunek odległości, jaką przeszedłeś w poziomie, do wysokości, na jaką się wspiąłeś. Jest to po prostu odwrotność tangensa.
Podsumowanie w tabeli
Aby to wszystko usystematyzować, przedstawiam krótkie podsumowanie:
| Funkcja | Definicja | Skrót |
|---|---|---|
| Sinus | Przyprostokątna przeciwległa / Przeciwprostokątna | sin α |
| Cosinus | Przyprostokątna przyległa / Przeciwprostokątna | cos α |
| Tangens | Przyprostokątna przeciwległa / Przyprostokątna przyległa | tan α (tg α) |
| Cotangens | Przyprostokątna przyległa / Przyprostokątna przeciwległa | cot α (ctg α) |
Ważne kąty i ich wartości
Dla niektórych kątów, takich jak 30°, 45° i 60°, wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa są szczególnie często używane i warto je zapamiętać:
| Kąt (α) | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|
| 30° (π/6) | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° (π/3) | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
Po co to wszystko?
Pewnie zastanawiasz się, po co w ogóle uczyć się o tych funkcjach trygonometrycznych. Otóż, są one niezwykle przydatne w wielu dziedzinach! Używa się ich w fizyce (np. do analizy ruchu wahadła), w nawigacji (do określania położenia i kursu), w budownictwie (do obliczania wysokości budynków i nachylenia dachów), w informatyce (np. w grafice komputerowej) i wielu innych.
Mam nadzieję, że teraz rozumiesz, czym są sinus, cosinus, tangens i cotangens. Pamiętaj, że praktyka czyni mistrza, więc spróbuj rozwiązać kilka zadań, aby utrwalić swoją wiedzę. Powodzenia!
