Dany Jest Wykres Funkcji F Podaj Przedzialy Monotonicznosci Tej Funkcji

Hej Studenci!

Zastanawialiście się kiedyś, jak opisać zachowanie jakiejś rzeczy, która się zmienia? Na przykład, jak rośnie temperatura w ciągu dnia, albo jak szybko jedzie samochód?

W matematyce mamy do tego super narzędzie: funkcje!

Co to jest funkcja?

Wyobraźcie sobie automat do napojów. Wrzucacie monetę (to jest argument funkcji), a automat wydaje napój (to jest wartość funkcji). Funkcja przypisuje każdemu argumentowi dokładnie jedną wartość.

Czyli, funkcja to przepis, który mówi, co zrobić z daną liczbą (argumentem), żeby dostać inną liczbę (wartość).

Funkcje możemy przedstawiać na różne sposoby. Jednym z nich jest wykres.

Czym jest wykres funkcji?

Wykres to po prostu rysunek, który pokazuje, jak zmienia się wartość funkcji w zależności od argumentu.

Mamy dwie osie: oś poziomą (oś X) i oś pionową (oś Y). Na osi X zaznaczamy argumenty funkcji, a na osi Y zaznaczamy wartości funkcji.

Każdy punkt na wykresie ma współrzędne (x, y), gdzie x to argument, a y to wartość funkcji dla tego argumentu.

Na przykład, jeśli funkcja f(x) = x + 1, to dla x = 2, wartość funkcji wynosi f(2) = 2 + 1 = 3. Punkt (2, 3) będzie leżał na wykresie tej funkcji.

Dziedzina funkcji

Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich liczb, które możemy "wrzucić" do funkcji, żeby dostać jakąś wartość.

Wróćmy do automatu z napojami. Nie możemy wrzucić do niego kamienia, prawda? Podobnie, nie każdą liczbę możemy "wrzucić" do każdej funkcji.

Na przykład, nie możemy dzielić przez zero. Więc jeśli mamy funkcję f(x) = 1/x, to 0 nie należy do dziedziny tej funkcji.

W zadaniu "Dany Jest Wykres Funkcji F" dostajemy wykres. Musimy odczytać z niego, dla jakich x funkcja jest zdefiniowana, czyli dla jakich x na wykresie "coś się dzieje".

Przedziały monotoniczności

Teraz najważniejsza część: przedziały monotoniczności.

Monotoniczność funkcji opisuje, jak funkcja się zachowuje: czy rośnie, maleje, czy jest stała.

Mamy trzy rodzaje monotoniczności:

• Funkcja rosnąca: Jeśli dla większych argumentów funkcja ma większe wartości, to mówimy, że funkcja jest rosnąca. Wyobraźcie sobie wspinaczkę pod górę – im dalej idziecie, tym wyżej jesteście.
• Funkcja malejąca: Jeśli dla większych argumentów funkcja ma mniejsze wartości, to mówimy, że funkcja jest malejąca. Wyobraźcie sobie zjazd z góry – im dalej jedziecie, tym niżej jesteście.
• Funkcja stała: Jeśli wartość funkcji nie zmienia się, niezależnie od argumentu, to mówimy, że funkcja jest stała. Wyobraźcie sobie chodzenie po płaskim terenie – wysokość się nie zmienia.

Przedział monotoniczności to odcinek na osi X, na którym funkcja zachowuje się w jeden sposób – albo rośnie, albo maleje, albo jest stała.

Jak znaleźć przedziały monotoniczności na wykresie?

Szukamy, gdzie wykres "idzie w górę" (funkcja rosnąca), gdzie "idzie w dół" (funkcja malejąca), a gdzie jest "płasko" (funkcja stała).

Żeby opisać przedział monotoniczności, podajemy x początkowe i końcowe tego przedziału.

Na przykład:

• Funkcja rośnie w przedziale (a, b) – oznacza to, że dla wszystkich x pomiędzy a i b (nie wliczając a i b, chyba że mamy informację, że funkcja jest rosnąca w a lub b), funkcja rośnie.
• Funkcja maleje w przedziale (c, d) – oznacza to, że dla wszystkich x pomiędzy c i d, funkcja maleje.
• Funkcja jest stała w przedziale (e, f) – oznacza to, że dla wszystkich x pomiędzy e i f, wartość funkcji się nie zmienia.

Czasem, funkcja może rosnąć do pewnego punktu, potem maleć, a potem znowu rosnąć. Wtedy będziemy mieli kilka przedziałów monotoniczności.

Jak to wszystko połączyć?

W zadaniu "Dany Jest Wykres Funkcji F Podaj Przedzialy Monotonicznosci Tej Funkcji" dostajemy wykres i musimy:

1. Zrozumieć, co to jest funkcja i wykres. (Już wiemy!)
2. Odczytać dziedzinę funkcji z wykresu. (Dla jakich x funkcja jest zdefiniowana?)
3. Znaleźć przedziały, w których funkcja rośnie. (Gdzie wykres "idzie w górę"?)
4. Znaleźć przedziały, w których funkcja maleje. (Gdzie wykres "idzie w dół"?)
5. Znaleźć przedziały, w których funkcja jest stała. (Gdzie wykres jest "płaski"?)
6. Zapisać przedziały monotoniczności w odpowiedni sposób. (Na przykład: funkcja rośnie w przedziale (a, b).)

Ważne! Zwracajcie uwagę na końce przedziałów. Czy funkcja jest rosnąca/malejąca w punkcie krańcowym, czy nie? To zależy od konkretnego wykresu.

Pamiętajcie, że praktyka czyni mistrza! Im więcej wykresów przeanalizujecie, tym łatwiej będzie wam rozpoznawać przedziały monotoniczności.

Powodzenia!