Czy wszystkie pierwiastki są liczbami wymiernymi? Odpowiedź brzmi: nie.
Zacznijmy od podstaw. Co to właściwie są liczby wymierne?
Liczba wymierna to taka liczba, którą można zapisać jako ułamek zwykły, gdzie licznik i mianownik są liczbami całkowitymi. Mianownik nie może być zerem.
Wyobraź sobie tort. Możesz go podzielić na kawałki. Jeśli kawałki są równe i możesz wyrazić, ile kawałków masz w stosunku do całości, to masz do czynienia z liczbą wymierną.
Np. 1/2 tortu, 3/4 tortu, a nawet 5/2 tortu (dwa i pół tortu) to liczby wymierne.
Liczby całkowite też są wymierne, bo np. 5 to to samo co 5/1. Czyli znowu mamy ułamek.
A co to są pierwiastki?
Pierwiastek to działanie matematyczne, które "odwraca" potęgowanie. Na przykład, pierwiastek kwadratowy z liczby 9 to 3, bo 3 * 3 = 9.
Pomyśl o polu kwadratu. Jeśli pole kwadratu wynosi 9, to długość jego boku to pierwiastek z 9, czyli 3.
Niektóre pierwiastki są liczbami wymiernymi. Np. √4 = 2 (bo 2 * 2 = 4). 2 to liczba całkowita, a więc i wymierna.
Podobnie √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5. To wszystko liczby wymierne.
Można je zapisać jako ułamki: 2/1, 3/1, 4/1, 5/1.
Ale co z pierwiastkiem z 2 (√2)?
Tutaj zaczyna się robić ciekawie. √2 to taka liczba, która pomnożona przez samą siebie daje 2.
Wyobraź sobie kwadrat o polu 2. Długość jego boku to właśnie √2.
Spróbujmy znaleźć liczbę, która spełnia ten warunek. 1 * 1 = 1 (za mało). 2 * 2 = 4 (za dużo).
Więc √2 musi być gdzieś pomiędzy 1 a 2.
Możemy spróbować z ułamkami. 1.4 * 1.4 = 1.96 (blisko, ale jeszcze nie 2). 1.5 * 1.5 = 2.25 (za dużo).
Możemy próbować dalej i dalej, używając coraz bardziej dokładnych ułamków dziesiętnych.
Ale prawda jest taka, że *nigdy* nie znajdziemy ułamka, który pomnożony przez sam siebie da dokładnie 2.
√2 jest liczbą niewymierną.
To oznacza, że nie da się jej zapisać jako ułamek zwykły a/b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi.
Rozwinięcie dziesiętne √2 jest nieskończone i nieokresowe. To znaczy, że cyfry po przecinku nigdy się nie powtarzają w regularny sposób.
Podobnie jest z innymi pierwiastkami, np. √3, √5, √7. To również liczby niewymierne.
Są to tzw. *pierwiastki kwadratowe z liczb, które nie są kwadratami liczb całkowitych.*
Innym przykładem jest liczba π (pi), która jest stosunkiem obwodu koła do jego średnicy. π jest także liczbą niewymierną.
Podsumowując:
Liczby wymierne:
- Można zapisać jako ułamek zwykły a/b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi.
- Mają skończone lub nieskończone okresowe rozwinięcie dziesiętne.
- Przykłady: 1/2, 3/4, 5, -2, 0.3333..., √4, √9.
Liczby niewymierne:
- Nie można zapisać jako ułamek zwykły.
- Mają nieskończone nieokresowe rozwinięcie dziesiętne.
- Przykłady: √2, √3, π.
Ważne jest, aby rozróżniać liczby wymierne i niewymierne. Liczby niewymierne, takie jak √2, pojawiają się w wielu dziedzinach matematyki, fizyki i inżynierii.
Pomyśl o tym w ten sposób: liczby wymierne są jak budynki zbudowane z równych cegieł. Liczby niewymierne są jak obiekty o nieregularnych kształtach, których nie da się opisać za pomocą prostych proporcji.
Teraz, gdy wiesz, że nie wszystkie pierwiastki są liczbami wymiernymi, możesz głębiej zgłębić świat matematyki i odkrywać fascynujące właściwości liczb niewymiernych.
