Hej! Masz problem z liczbami zespolonymi w Algebra 2? Bez obaw! Rozwiążemy to razem. Użyjemy wizualnych przykładów. Będzie prosto i zrozumiale.
Czym są Liczby Zespolone?
Wyobraź sobie, że masz zwykłą oś liczbową. To liczby rzeczywiste. Ale co, jeśli potrzebujesz czegoś "ponad" tą oś?
Wkraczają liczby zespolone! To tak, jakby dodać drugą oś. Ta oś jest pionowa. Reprezentuje liczby urojone.
Liczba zespolona ma dwie części. Część rzeczywistą i część urojoną. Na przykład 3 + 2i.
Trójka (3) to część rzeczywista. Dwa i (2i) to część urojona. i to jednostka urojona. i = √-1
Wizualizacja Liczb Zespolonych
Pomyśl o płaszczyźnie kartezjańskiej. Oś X to liczby rzeczywiste. Oś Y to liczby urojone.
Liczba zespolona 3 + 2i to punkt na tej płaszczyźnie. Idziesz 3 jednostki w prawo (oś X). Potem 2 jednostki w górę (oś Y).
Właśnie zwizualizowałeś liczbę zespoloną! To jak współrzędne (3, 2) na mapie.
Działania na Liczbach Zespolonych
Dodawanie i odejmowanie są proste. Traktuj i jak zwykłą zmienną. Na przykład x.
Dodawanie
(2 + 3i) + (1 - i) = ?
Dodajesz części rzeczywiste. 2 + 1 = 3.
Dodajesz części urojone. 3i + (-i) = 2i.
Wynik: 3 + 2i. Łatwe, prawda?
Odejmowanie
(5 + 4i) - (2 + i) = ?
Odejmujesz części rzeczywiste. 5 - 2 = 3.
Odejmujesz części urojone. 4i - i = 3i.
Wynik: 3 + 3i. Pamiętaj o znakach!
Mnożenie
To trochę bardziej skomplikowane. Używamy zasady FOIL (First, Outer, Inner, Last).
(1 + 2i)(3 - i) = ?
First: 1 * 3 = 3
Outer: 1 * -i = -i
Inner: 2i * 3 = 6i
Last: 2i * -i = -2i2
Pamiętaj! i2 = -1. Więc -2i2 = -2 * -1 = 2.
Dodaj wszystko: 3 - i + 6i + 2 = 5 + 5i.
Wynik: 5 + 5i.
Dzielenie
Najtrudniejsze. Potrzebujemy sprzężenia.
Sprzężenie liczby zespolonej to zmiana znaku części urojonej.
Sprzężenie 2 + 3i to 2 - 3i.
Dzielenie: (4 + 3i) / (1 - 2i) = ?
Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika. Czyli (1 + 2i).
[(4 + 3i) * (1 + 2i)] / [(1 - 2i) * (1 + 2i)] = ?
Licznik: (4 + 3i)(1 + 2i) = 4 + 8i + 3i + 6i2 = 4 + 11i - 6 = -2 + 11i
Mianownik: (1 - 2i)(1 + 2i) = 1 + 2i - 2i - 4i2 = 1 + 4 = 5
Wynik: (-2 + 11i) / 5 = -2/5 + (11/5)i
Zastosowania Liczb Zespolonych
Liczby zespolone nie są tylko abstrakcją. Mają zastosowania w prawdziwym świecie.
Używane są w elektryczności. Opisują prąd zmienny (AC).
Używane są w inżynierii. Analizują drgania i fale.
Używane są w fizyce. W mechanice kwantowej.
Pomyśl o falach dźwiękowych. Albo o sygnałach radiowych. Wszystko to można opisać za pomocą liczb zespolonych.
Przykładowe Zadania (Common Core Algebra 2)
Znajdź wartość wyrażenia (3 + i)2.
(3 + i)2 = (3 + i)(3 + i) = 9 + 3i + 3i + i2 = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i.
Rozwiąż równanie x2 + 4 = 0.
x2 = -4
x = ±√-4 = ±√(4 * -1) = ±2i.
Narysuj liczbę 2 - 3i na płaszczyźnie zespolonej.
Idziesz 2 jednostki w prawo (oś X). Potem 3 jednostki w dół (oś Y).
Znajdź sprzężenie liczby -1 + 5i.
Zmieniamy znak części urojonej. Sprzężenie to -1 - 5i.
Podsumowanie
Liczby zespolone to liczby z częścią rzeczywistą i urojoną. Można je wizualizować na płaszczyźnie. Można je dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić.
Używane są w wielu dziedzinach nauki i techniki.
Ćwicz! Im więcej zadań rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz liczby zespolone.
Powodzenia!
