Wyobraź sobie schody. Każdy stopień jest wyżej od poprzedniego o dokładnie tyle samo. To tak jak z ciągiem arytmetycznym.
Mamy taki ciąg. Na przykład: 2, 6, 10, 14, 18...
Zauważ, że żeby przejść z jednego numeru do następnego, dodajesz zawsze tę samą liczbę. To nasza różnica.
W tym przykładzie, różnica to 4. Bo 2 + 4 = 6, 6 + 4 = 10 i tak dalej.
Dziś zajmiemy się ciągami, gdzie różnica (oznaczana często jako r) wynosi właśnie 4. To ciąg arytmetyczny o różnicy 4.
Jak to działa?
Pomyśl o rzucaniu kamykiem na jezioro. Tworzą się kręgi.
Załóżmy, że każdy następny krąg jest o 4 centymetry większy od poprzedniego.
To nasz ciąg o różnicy 4.
Spójrzmy na inny przykład. Masz drzewo, które rośnie.
Każdego roku, drzewo rośnie o dokładnie 4 centymetry.
Wysokość drzewa w kolejnych latach tworzy ciąg arytmetyczny z r = 4.
Wzór na n-ty wyraz
Chcesz wiedzieć, jaki będzie, powiedzmy, dziesiąty wyraz ciągu? Nie musisz dodawać 4 dziesięć razy!
Mamy wzór: an = a1 + (n - 1) * r
Co to oznacza?
an to n-ty wyraz ciągu (ten, który chcemy znaleźć).
a1 to pierwszy wyraz ciągu (ten, od którego zaczynamy).
n to numer wyrazu, który nas interesuje (np. 10 dla dziesiątego wyrazu).
r to nasza różnica, czyli 4.
Spróbujmy! Załóżmy, że nasz ciąg to: 1, 5, 9, 13, ...
Chcemy znaleźć piąty wyraz (a5).
a1 = 1 (pierwszy wyraz)
n = 5 (chcemy piąty wyraz)
r = 4 (różnica)
Podstawiamy do wzoru: a5 = 1 + (5 - 1) * 4
a5 = 1 + (4) * 4
a5 = 1 + 16
a5 = 17
Piąty wyraz ciągu to 17! Sprawdź sam, dodając 4 do 13.
Przykłady wizualne
Wyobraź sobie, że układasz klocki LEGO. Zaczynasz od jednego klocka.
Potem dokładasz cztery klocki. Potem znowu cztery, i tak dalej.
Ilość klocków w każdym "poziomie" tworzy ciąg arytmetyczny o różnicy 4.
Inny przykład: Masz półkę z książkami. Na pierwszej półce masz 3 książki.
Na każdej następnej półce masz o 4 książki więcej.
Ilość książek na każdej półce to ciąg arytmetyczny z r = 4.
Dlaczego to jest przydatne?
Ciągi arytmetyczne pomagają nam przewidywać.
Możemy przewidzieć, ile zaoszczędzimy, jeśli co miesiąc odkładamy stałą kwotę (powiększoną o 4 zł).
Możemy przewidzieć, ile metrów materiału będziemy potrzebować na płot, jeśli każdy element płotu jest dłuższy o 4 centymetry od poprzedniego.
Spotkasz je również w fizyce, informatyce i wielu innych dziedzinach.
Ciąg arytmetyczny o różnicy 4 to po prostu regularny wzrost. To jak dodawanie zawsze tej samej porcji do dania. Smacznego rozwiązywania zadań!
