Hej! Dziś porozmawiamy o ciągu geometrycznym. To bardzo fajny temat, który przyda Ci się nie tylko na matematyce.
Czym jest ciąg geometryczny?
Wyobraź sobie, że masz pewną liczbę. Następnie, mnożysz ją przez jakąś inną liczbę. I tak dalej, za każdym razem mnożysz wynik przez tę samą liczbę. To właśnie jest ciąg geometryczny. Każdy kolejny element powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stałą wartość.
Ta stała wartość, przez którą mnożymy, nazywa się ilorazem ciągu geometrycznego i oznaczamy ją literą q. Mamy więc pierwszy element, czyli a1. Drugi element to a2 = a1 * q. Trzeci element to a3 = a2 * q = a1 * q2. I tak dalej.
Przykład? Załóżmy, że a1 = 2, a q = 3. Wtedy ciąg wygląda tak: 2, 6, 18, 54... Każda liczba jest 3 razy większa od poprzedniej.
Definicje, które musisz znać
Zanim przejdziemy dalej, upewnijmy się, że rozumiesz najważniejsze pojęcia:
- Ciąg geometryczny: To sekwencja liczb, w której każdy kolejny element powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stałą wartość.
- Iloraz (q): To stała wartość, przez którą mnożymy każdy element ciągu, aby otrzymać następny.
- Pierwszy wyraz (a1): To pierwszy element w ciągu geometrycznym.
Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
Jeśli chcemy znaleźć dowolny wyraz w ciągu geometrycznym, na przykład setny, nie musimy liczyć wszystkich poprzednich. Mamy na to specjalny wzór. Nazywa się wzorem na n-ty wyraz ciągu geometrycznego.
Wzór ten wygląda tak: an = a1 * q(n-1). Gdzie an to n-ty wyraz ciągu, a1 to pierwszy wyraz, q to iloraz, a n to numer wyrazu, który chcemy znaleźć.
Spróbujmy to zastosować. Mamy ciąg, w którym a1 = 5, a q = 2. Chcemy znaleźć piąty wyraz (a5). Podstawiamy do wzoru: a5 = 5 * 2(5-1) = 5 * 24 = 5 * 16 = 80. Piąty wyraz tego ciągu to 80.
Wzór na środkowy wyraz ciągu geometrycznego
Teraz przejdźmy do głównego tematu: wzoru na środkowy wyraz ciągu geometrycznego. Ten wzór jest bardzo przydatny, kiedy mamy trzy kolejne wyrazy ciągu i chcemy sprawdzić, czy rzeczywiście tworzą one ciąg geometryczny. Albo kiedy znamy dwa z nich i szukamy trzeciego.
Załóżmy, że mamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego: an-1, an, i an+1. Wtedy środkowy wyraz, czyli an, spełnia następującą zależność: an2 = an-1 * an+1.
Możemy to zapisać również jako: an = √(an-1 * an+1). To oznacza, że środkowy wyraz ciągu geometrycznego jest średnią geometryczną dwóch sąsiednich wyrazów.
Ten wzór działa tylko dla liczb dodatnich! Jeśli mamy do czynienia z liczbami ujemnymi, musimy uważać na znak i korzystać z pierwszego wzoru (an2 = an-1 * an+1), analizując znak każdego wyrazu.
Przykłady zastosowania wzoru na środkowy wyraz
Przykład 1: Sprawdzenie, czy trzy liczby tworzą ciąg geometryczny.
Mamy liczby: 4, 12, 36. Czy tworzą one ciąg geometryczny? Sprawdzamy: 122 = 4 * 36. Czyli 144 = 144. Zgadza się! Te liczby tworzą ciąg geometryczny. Iloraz tego ciągu to 3 (12/4 = 3, 36/12 = 3).
Przykład 2: Znalezienie brakującego wyrazu ciągu geometrycznego.
Mamy ciąg: 5, x, 45. Chcemy znaleźć wartość x, wiedząc, że to ciąg geometryczny. Korzystamy ze wzoru: x2 = 5 * 45. Czyli x2 = 225. Zatem x = √225 = 15. Brakujący wyraz to 15. (Zakładamy, że szukamy dodatniej wartości x. Mogłoby być również x = -15, ale wtedy ciąg byłby naprzemienny).
Przykład 3: Bardziej zaawansowany problem.
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Ich suma wynosi 21. Jeśli od pierwszej liczby odejmiemy 1, od drugiej 4, a od trzeciej 3, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Znajdź te liczby.
Nie będziemy rozwiązywać tego zadania krok po kroku, ale pokazujemy, że wiedza o ciągu geometrycznym i wzorze na środkowy wyraz może być przydatna w rozwiązywaniu bardziej skomplikowanych problemów.
Ciąg geometryczny w życiu codziennym
Gdzie możemy spotkać ciąg geometryczny w życiu codziennym?
- Procent składany w banku. Jeśli masz lokatę, na której co roku dopisywane są odsetki, to kwota na Twoim koncie rośnie zgodnie z ciągiem geometrycznym.
- Rozwój populacji bakterii. W idealnych warunkach, populacja bakterii może się podwajać co pewien czas. To również jest przykład ciągu geometrycznego.
- Odbijanie piłki. Każde kolejne odbicie piłki jest zazwyczaj niższe od poprzedniego. Wysokość odbicia maleje zgodnie z (mniej więcej) ciągiem geometrycznym.
Podsumowanie
Mam nadzieję, że ten artykuł pomógł Ci zrozumieć, czym jest ciąg geometryczny, co to jest iloraz, oraz jak stosować wzór na środkowy wyraz. Pamiętaj, że praktyka czyni mistrza! Rozwiązuj zadania, analizuj przykłady i na pewno szybko opanujesz ten temat.
Powodzenia na matematyce!
