Hej Studencie! Zaraz czeka Cię sprawdzian z Calculus? Nie martw się, pomożemy Ci! Skupimy się na materiałach od Rona Larsona i Paula Battaglii. Chodźmy po kolei.
Granice i Ciągłość
Granice to podstawa. Pamiętaj o definicji granicy! Sprawdź, czy funkcja zbliża się do konkretnej wartości.
Jak obliczyć granice?
Przede wszystkim podstawienie! Jeśli to możliwe, podstaw wartość, do której dąży x.
Czasem pojawiają się symbole nieoznaczone. Na przykład 0/0. Wtedy trzeba pokombinować.
Reguła de l'Hôpitala to Twój przyjaciel. Stosuj ją, gdy masz symbole nieoznaczone. Policz pochodne licznika i mianownika.
Funkcje trygonometryczne? Pamiętaj o granicy sin(x)/x przy x dążącym do 0. To jest równe 1!
Ciągłość? Funkcja jest ciągła w punkcie, gdy granica istnieje. Wartość funkcji w punkcie jest równa granicy.
Pochodne
Pochodna to tempo zmian funkcji. Geometrycznie to współczynnik kierunkowy stycznej.
Reguły różniczkowania
Pochodna sumy to suma pochodnych. Proste, prawda?
Pochodna iloczynu? Trochę trudniejsze. (uv)' = u'v + uv'. Naucz się tego!
Pochodna ilorazu? Jeszcze trudniejsze. Pamiętaj o mianowniku do kwadratu!
Reguła łańcuchowa to klucz. f(g(x))' = f'(g(x)) * g'(x). Zewnętrzna razy wewnętrzna!
Pochodne funkcji trygonometrycznych. Musisz je znać na pamięć. Sinus, cosinus, tangens...
Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych. e^x i ln(x) to klasyki.
Różniczkowanie uwikłane. Traktuj y jako funkcję x. Pamiętaj o y'!
Zastosowania Pochodnych
Ekstrema funkcji. Znajdź punkty krytyczne. Tam, gdzie pochodna jest równa zero lub nie istnieje.
Test pierwszej pochodnej. Zmiana znaku pochodnej mówi o ekstremum.
Test drugiej pochodnej. Jeśli druga pochodna jest dodatnia, mamy minimum. Jeśli ujemna, mamy maksimum.
Przedziały monotoniczności. Rosnąca, gdy pochodna jest dodatnia. Malejąca, gdy ujemna.
Wklęsłość i wypukłość. Druga pochodna to zdradza.
Punkty przegięcia. Tam, gdzie zmienia się wklęsłość.
Optymalizacja. Szukanie maksimum lub minimum w zadaniach tekstowych.
Liniowa aproksymacja. Przybliżanie wartości funkcji za pomocą stycznej.
Całki
Całka to operacja odwrotna do pochodnej. To pole pod krzywą.
Całki nieoznaczone
Całka z x^n. Dodaj 1 do potęgi i podziel przez nową potęgę.
Całka z 1/x. To ln|x|.
Całki funkcji trygonometrycznych. Znowu, trzeba znać na pamięć!
Całkowanie przez podstawienie. Znajdź odpowiednie podstawienie, żeby uprościć całkę.
Całkowanie przez części. ∫udv = uv - ∫vdu. Wybierz odpowiednie u i dv.
Całki oznaczone
Obliczanie pola pod krzywą. Od górnej granicy odejmij dolną.
Twierdzenie podstawowe rachunku całkowego. Pochodna całki to funkcja podcałkowa.
Zastosowania całek oznaczonych. Obliczanie objętości brył obrotowych. Długości łuku.
Techniki Całkowania
Całki funkcji trygonometrycznych. To bywa trudne. Używaj tożsamości trygonometrycznych.
Całkowanie funkcji wymiernych. Rozkład na ułamki proste. To długa, ale skuteczna metoda.
Całki niewłaściwe. Granice całkowania dążą do nieskończoności. Albo funkcja ma asymptotę w przedziale całkowania.
Równania Różniczkowe
Równanie różniczkowe to równanie, w którym występuje pochodna.
Równania o zmiennych rozdzielonych. Rozdziel x i y na różne strony równania. Potem całkuj.
Równania liniowe pierwszego rzędu. Użyj czynnika całkującego.
Równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Znajdź równanie charakterystyczne.
Warunki początkowe. Pozwalają znaleźć konkretne rozwiązanie.
Ciągi i Szeregi
Ciąg to uporządkowany zbiór liczb.
Szereg to suma wyrazów ciągu.
Szeregi geometryczne. Musisz znać wzór na sumę.
Test zbieżności szeregów. Test ilorazowy, test całkowy, test porównawczy...
Szeregi potęgowe. Szeregi Taylora i Maclaurina. Bardzo ważne!
Przedział zbieżności. Dla jakich x szereg jest zbieżny?
Podsumowanie
Uff, to była długa droga! Pamiętaj o podstawach: granice, pochodne, całki. Reguły różniczkowania i całkowania musisz znać na pamięć.
Rozwiązuj zadania! Im więcej zadań zrobisz, tym lepiej zrozumiesz materiał. Korzystaj z podręcznika Rona Larsona i Paula Battaglii. Tam znajdziesz mnóstwo przykładów.
Nie bój się pytać! Jeśli masz wątpliwości, zapytaj nauczyciela lub kolegów. Powodzenia na egzaminie!
