Zadanie z geometrii często sprowadza się do znalezienia nieznanych wymiarów figur. Zajmijmy się problemem, gdzie mamy informacje o boku rombu i sumie długości jego przekątnych. To klasyczny przykład, który rozwija umiejętność logicznego myślenia i wykorzystania wzorów.
Definicja Rombu
Romb to czworokąt, który ma wszystkie boki równe. Dodatkowo, przeciwległe kąty w rombie są równe. Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy. To bardzo ważne właściwości.
W rombie mamy więc 4 równe boki, oznaczane zwykle jako a. Mamy również dwie przekątne. Oznaczmy je jako d1 i d2. Przekątne przecinają się w połowie, tworząc cztery przystające trójkąty prostokątne. To kluczowe do rozwiązania wielu zadań.
Informacje Podane w Zadaniu
Załóżmy, że bok rombu (a) ma długość 4 cm. Oznacza to, że każdy bok rombu ma 4 cm. Dodatkowo, wiemy, że suma długości przekątnych (d1 + d2) wynosi pewną wartość, którą musimy wykorzystać do rozwiązania zadania.
Zapiszmy: a = 4 cm oraz d1 + d2 = S, gdzie S to suma długości przekątnych. Celem jest znalezienie konkretnych wartości d1 i d2.
Wykorzystanie Twierdzenia Pitagorasa
Ponieważ przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy, możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa. W każdym z czterech trójkątów prostokątnych, które tworzą romb, mamy: (d1/2)2 + (d2/2)2 = a2.
Podstawiając naszą wartość a = 4 cm, otrzymujemy: (d1/2)2 + (d2/2)2 = 42, czyli (d1/2)2 + (d2/2)2 = 16. Możemy to uprościć do d12/4 + d22/4 = 16, a następnie pomnożyć obie strony przez 4, co daje d12 + d22 = 64.
Rozwiązanie Układu Równań
Mamy teraz dwa równania: d1 + d2 = S i d12 + d22 = 64. Musimy rozwiązać ten układ równań. Możemy wyrazić d2 z pierwszego równania: d2 = S - d1. Następnie, podstawiamy to do drugiego równania.
Otrzymujemy: d12 + (S - d1)2 = 64. Rozwijamy to wyrażenie: d12 + S2 - 2Sd1 + d12 = 64. Upraszczamy: 2d12 - 2Sd1 + S2 - 64 = 0. To równanie kwadratowe względem d1.
Znalezienie Wartości d1
Aby rozwiązać równanie kwadratowe 2d12 - 2Sd1 + S2 - 64 = 0, możemy użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego: d1 = (-b ± √(b2 - 4ac)) / (2a), gdzie a = 2, b = -2S, a c = S2 - 64.
Podstawiając te wartości, otrzymujemy: d1 = (2S ± √((-2S)2 - 4 * 2 * (S2 - 64))) / (2 * 2). Upraszczamy: d1 = (2S ± √(4S2 - 8S2 + 512)) / 4. Dalej: d1 = (2S ± √(-4S2 + 512)) / 4.
Zauważ, że wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne, czyli -4S2 + 512 ≥ 0. To oznacza, że 4S2 ≤ 512, czyli S2 ≤ 128. Zatem, S ≤ √128, co daje S ≤ 8√2 ≈ 11.31 cm. Suma długości przekątnych musi być mniejsza lub równa około 11.31 cm, aby rozwiązanie miało sens.
Obliczanie d2
Po znalezieniu wartości d1, możemy obliczyć d2 korzystając z równania d2 = S - d1. Otrzymamy dwie możliwe wartości dla d1 i d2, co wynika z faktu, że przekątne można zamienić miejscami.
Przykład
Załóżmy, że suma przekątnych, czyli S, wynosi 8 cm. Wtedy nasze równania to a=4cm i d1 + d2 = 8. Z tego wiemy, że d2 = 8 - d1. Wiemy także z Pitagorasa, że d12 + d22 = 64. Podstawiamy: d12 + (8 - d1)2 = 64 => d12 + 64 -16d1 + d12 = 64 => 2d12 - 16d1 = 0 => 2d1(d1 - 8) = 0. Stąd d1=0 lub d1=8. Jednak d1 nie może być zerem, więc d1 = 8. Wtedy d2 = 8 - 8 = 0. W takim przypadku romb jest spłaszczony.
Wnioski
Rozwiązanie zadania z rombem, gdzie znamy długość boku i sumę przekątnych, wymaga zastosowania twierdzenia Pitagorasa i rozwiązania układu równań. To dobry przykład, jak geometria łączy się z algebrą. Pamiętaj, że suma przekątnych musi spełniać pewne warunki, aby rozwiązanie było realne.
