Witaj! Przygotujmy się razem do egzaminu z prawdopodobieństwa . Dziś zajmiemy się problemem najdłuższej serii orłów w sekwencji rzutów monetą.
Wprowadzenie do problemu
Zacznijmy od zrozumienia, na czym polega problem. Mamy serię rzutów monetą. Interesuje nas znalezienie najdłuższej sekwencji, w której wypadł orzeł (czyli "heads").
Wyobraź sobie, że rzucasz monetą 7 razy. Jakie wyniki możesz otrzymać? Jak znaleźć najdłuższą serię orłów?
Przeanalizujmy to krok po kroku.
Analiza przykładu 7 rzutów
Załóżmy, że wyniki 7 rzutów to: O, R, O, O, R, O, O. (O - Orzeł, R - Reszka)
Pierwszy orzeł (O). Długość serii wynosi 1.
Reszka (R) przerywa serię.
Dwa orły z rzędu (O, O). Długość serii wynosi 2.
Reszka (R) przerywa serię.
Dwa orły z rzędu (O, O). Długość serii wynosi 2.
Zatem, w tym przykładzie, najdłuższa seria orłów wynosi 2.
Jak znaleźć najdłuższą serię?
Potrzebujemy algorytmu, który to zrobi. Możemy iterować po wynikach rzutów.
Krok 1: Zainicjuj licznik aktualnej serii na 0. Zainicjuj licznik najdłuższej serii na 0.
Krok 2: Przejdź przez wyniki rzutów.
Krok 3: Jeśli wypadł orzeł (O), zwiększ licznik aktualnej serii o 1.
Krok 4: Jeśli wypadła reszka (R), porównaj licznik aktualnej serii z licznikiem najdłuższej serii. Jeśli aktualna seria jest dłuższa, zaktualizuj licznik najdłuższej serii. Zresetuj licznik aktualnej serii do 0.
Krok 5: Po przejściu przez wszystkie wyniki, zwróć licznik najdłuższej serii.
Przykład kodu (pseudokod)
Oto pseudokod, który ilustruje ten algorytm:
najdluzsza_seria = 0
aktualna_seria = 0
dla kazdy_rzut w wyniki_rzutow:
jesli rzut == "O":
aktualna_seria = aktualna_seria + 1
w przeciwnym razie:
jesli aktualna_seria > najdluzsza_seria:
najdluzsza_seria = aktualna_seria
aktualna_seria = 0
jesli aktualna_seria > najdluzsza_seria:
najdluzsza_seria = aktualna_seria
zwroc najdluzsza_seria
Rozważania probabilistyczne
W przypadku 5 rzutów, jakie są szanse na serię 3 orłów? To już jest trochę bardziej skomplikowane.
Musimy rozważyć wszystkie możliwe sekwencje. Możemy też użyć symulacji Monte Carlo.
Symulacja Monte Carlo polega na wielokrotnym powtarzaniu eksperymentu (np. 5 rzutów monetą). Dla każdego powtórzenia obliczamy najdłuższą serię orłów. Następnie, na podstawie wyników wielu powtórzeń, możemy oszacować prawdopodobieństwo wystąpienia serii o danej długości.
Im więcej powtórzeń, tym dokładniejsze oszacowanie.
Wpływ liczby rzutów (6 rzutów)
Co się stanie, gdy zwiększymy liczbę rzutów do 6?
Naturalnie, rośnie prawdopodobieństwo, że pojawi się dłuższa seria orłów. Będzie więcej możliwości na wystąpienie długich sekwencji.
Musimy pamiętać, że każdy rzut jest niezależny od poprzedniego. Prawdopodobieństwo wypadnięcia orła w każdym rzucie wynosi 0.5.
Złożoność problemu
Problem najdłuższej serii orłów może wydawać się prosty, ale staje się bardziej skomplikowany, gdy próbujemy obliczyć dokładne prawdopodobieństwa dla większej liczby rzutów.
Dla niewielkiej liczby rzutów możemy przeanalizować wszystkie możliwe sekwencje. Dla dużej liczby rzutów, symulacje Monte Carlo są bardziej efektywne.
Symulacje i ich znaczenie
Symulacje pomagają nam zrozumieć zachowanie systemów. Umożliwiają oszacowanie prawdopodobieństw bez konieczności analizowania wszystkich możliwych przypadków.
Użycie symulacji to podstawa w analizie złożonych problemów probabilistycznych.
Podsumowanie
Podsumujmy, czego się nauczyliśmy:
1. Zrozumieliśmy, na czym polega problem najdłuższej serii orłów.
2. Nauczyliśmy się algorytmu do znajdowania najdłuższej serii.
3. Omówiliśmy symulacje Monte Carlo jako narzędzie do oszacowywania prawdopodobieństw.
4. Rozważaliśmy wpływ liczby rzutów na prawdopodobieństwo wystąpienia długich serii.
Pamiętaj: ćwiczenie czyni mistrza! Rozwiąż kilka przykładów, a na pewno poradzisz sobie na egzaminie!
Powodzenia!
