5 2 Solving Systems By Substitution Answer Key

Hej! Chcesz zrozumieć rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania? Super! To tak, jakbyśmy rozwiązywali zagadki krok po kroku.

Co to jest Metoda Podstawiania?

Wyobraź sobie, że masz dwa równania. Układ równań to właśnie dwa równania, które chcemy rozwiązać jednocześnie. Chcemy znaleźć takie wartości x i y, które pasują do obu równań naraz.

Podstawianie polega na tym, że z jednego równania "wyciągamy" wartość jednej zmiennej (np. x) i "podstawiamy" ją do drugiego równania. To trochę jak zamiana elementów w puzzlach.

Przykład Wizualny:

Myśl o tym tak: masz dwa pudełka. W jednym pudełku jest napisane "x = coś". W drugim pudełku jest równanie, w którym występuje x. Bierzemy to "coś" z pierwszego pudełka i wkładamy do drugiego pudełka zamiast x.

Krok 1: Wyznacz Jedną Zmienną

Wybieramy jedno z równań. Najlepiej to, w którym łatwo jest "odizolować" jedną zmienną. To znaczy, doprowadzić do sytuacji, w której mamy np. x = coś.

Spójrz na to jak na wydobywanie skarbu. Chcemy, żeby x lub y stało samotnie po jednej stronie znaku równości.

Przykład: Jeśli mamy równanie x + y = 5, możemy przekształcić je na x = 5 - y. Teraz mamy x "wyrażone" za pomocą y.

Krok 2: Podstaw Do Drugiego Równania

Teraz to, co wyraziliśmy (np. x = 5 - y), wstawiamy do drugiego równania *zamiast* zmiennej, którą wyraziliśmy (w tym przypadku x).

To jak zamiana figurki w szachach! x "znika" i na jego miejsce pojawia się (5 - y).

Przykład: Załóżmy, że drugie równanie to 2x + y = 7. Po podstawieniu mamy: 2(5 - y) + y = 7.

Krok 3: Rozwiąż Równanie z Jedną Zmienną

Po podstawieniu, drugie równanie ma tylko jedną zmienną (w naszym przykładzie y). Możemy je rozwiązać! Upraszczamy, wykonujemy działania, aż otrzymamy wartość tej zmiennej.

To jak rozwiązywanie zwykłego równania! Skupiamy się, aż znajdziemy, ile wynosi y.

Przykład: 2(5 - y) + y = 7 -> 10 - 2y + y = 7 -> 10 - y = 7 -> y = 3.

Krok 4: Znajdź Drugą Zmienną

Teraz, kiedy znamy wartość jednej zmiennej (np. y = 3), możemy wstawić ją do dowolnego z równań (najczęściej tego, z którego wyznaczyliśmy pierwszą zmienną) i obliczyć wartość drugiej zmiennej (x).

Wracamy do pudełka z x = coś i wstawiamy tam znalezioną wartość y.

Przykład: Mieliśmy x = 5 - y. Wstawiamy y = 3: x = 5 - 3 -> x = 2.

Krok 5: Sprawdź Rozwiązanie

Na koniec, dla pewności, wstawiamy wartości x i y do *obu* oryginalnych równań. Sprawdzamy, czy równania są prawdziwe.

To jak test! Upewniamy się, że nasze rozwiązanie pasuje do obu puzzli.

Przykład: Równanie 1: x + y = 5 -> 2 + 3 = 5 (prawda!) Równanie 2: 2x + y = 7 -> 2(2) + 3 = 7 (prawda!)

Więc rozwiązaniem układu równań jest x = 2 i y = 3.

Przykład Kompleksowy

Układ równań: y = 2x + 1 3x + y = 16

Krok 1: Pierwsze równanie już ma y wyznaczone: y = 2x + 1.

Krok 2: Wstawiamy (2x + 1) zamiast y do drugiego równania: 3x + (2x + 1) = 16.

Krok 3: Rozwiązujemy: 3x + 2x + 1 = 16 -> 5x + 1 = 16 -> 5x = 15 -> x = 3.

Krok 4: Wstawiamy x = 3 do pierwszego równania: y = 2(3) + 1 -> y = 6 + 1 -> y = 7.

Krok 5: Sprawdzamy: y = 2x + 1 -> 7 = 2(3) + 1 (prawda!) 3x + y = 16 -> 3(3) + 7 = 16 (prawda!)

Rozwiązaniem jest x = 3 i y = 7.

Podsumowanie

Pamiętaj! Wyznacz zmienną, podstaw, rozwiąż, znajdź drugą zmienną i sprawdź! Ćwicz, a zobaczysz, że to naprawdę proste!

Powodzenia w rozwiązywaniu układów równań! Teraz możesz stać się mistrzem podstawiania! Spróbuj sam!