Hej studenci! Dzisiaj zajmiemy się przekształcaniem równania 3x + 2y = 12 do postaci kierunkowej prostej, czyli postaci y = mx + b. Zobaczycie, że to wcale nie jest takie trudne, jak mogłoby się wydawać.
Czym jest postać kierunkowa prostej?
Zacznijmy od podstaw. Postać kierunkowa prostej to sposób zapisania równania prostej w formie y = mx + b. Litery m i b mają tutaj konkretne znaczenie. Zrozumienie ich roli jest kluczowe do zrozumienia całej koncepcji. Postać kierunkowa prostej jest bardzo przydatna, bo od razu widać z niej dwie ważne cechy prostej: jej nachylenie i punkt przecięcia z osią Y.
Co oznaczają m i b?
m to współczynnik kierunkowy. Określa on, jak stroma jest prosta. Jeśli m jest dodatnie, prosta idzie w górę, patrząc od lewej do prawej. Jeśli m jest ujemne, prosta idzie w dół. Im większa wartość bezwzględna m, tym bardziej stroma jest prosta. Na przykład, prosta o współczynniku kierunkowym 2 jest bardziej stroma niż prosta o współczynniku kierunkowym 1.
b to wyraz wolny. Reprezentuje on punkt, w którym prosta przecina oś Y. Czyli, jeśli b wynosi 3, to prosta przecina oś Y w punkcie (0, 3). Wyobraźcie sobie linię na wykresie. b to po prostu miejsce, gdzie ta linia przecina pionową oś.
Teraz spróbujmy przełożyć to na coś bardziej zrozumiałego. Pomyśl o jeździe na nartach. Współczynnik kierunkowy (m) to nachylenie stoku. Im większe nachylenie, tym trudniej się jedzie w górę i szybciej zjeżdża w dół. Wyraz wolny (b) to miejsce, w którym zaczynasz swój zjazd na osi Y. To twoja pozycja startowa.
Przekształcanie równania do postaci kierunkowej
Mamy równanie 3x + 2y = 12. Naszym celem jest przekształcenie go do postaci y = mx + b. Oznacza to, że musimy wyizolować y po jednej stronie równania. Zrobimy to krok po kroku, używając podstawowych operacji algebraicznych. Pamiętajcie, że wszystko, co robimy po jednej stronie równania, musimy zrobić również po drugiej stronie, aby zachować równowagę.
Pierwszy krok to pozbycie się 3x z lewej strony równania. Robimy to, odejmując 3x od obu stron. Otrzymujemy: 2y = -3x + 12. Zauważ, że 3x zmieniło znak, ponieważ przenieśliśmy je na drugą stronę równania. Zawsze pamiętajcie o zmianie znaku, gdy przenosicie element z jednej strony równania na drugą.
Teraz musimy pozbyć się 2, które mnoży y. Dzielimy obie strony równania przez 2. Otrzymujemy: y = (-3/2)x + 6. I to już jest postać kierunkowa prostej! Teraz możemy łatwo odczytać współczynnik kierunkowy i wyraz wolny.
Odczytywanie współczynnika kierunkowego i wyrazu wolnego
W równaniu y = (-3/2)x + 6, współczynnik kierunkowy (m) wynosi -3/2, a wyraz wolny (b) wynosi 6. Oznacza to, że prosta ma ujemne nachylenie i przecina oś Y w punkcie (0, 6). Możemy teraz naszkicować tę prostą na wykresie.
Ujemny współczynnik kierunkowy -3/2 oznacza, że idąc w prawo o 2 jednostki, prosta opada w dół o 3 jednostki. To definiuje spadek prostej. Znając punkt przecięcia z osią Y i współczynnik kierunkowy, możemy narysować prostą.
Przykład z życia wzięty
Wyobraźcie sobie, że wynajmujecie rower. Opłata początkowa to 6 zł (to nasz b, wyraz wolny). Dodatkowo, za każdą godzinę jazdy płacicie 1.50 zł (to nasz m, współczynnik kierunkowy, ale tym razem jest to koszt). Równanie, które opisuje całkowity koszt (y) w zależności od liczby godzin (x) wyglądałoby tak: y = 1.5x + 6. Widzicie, że postać kierunkowa prostej może być bardzo przydatna do modelowania różnych sytuacji z życia codziennego.
Podsumowanie
Przekształcenie równania 3x + 2y = 12 do postaci kierunkowej prostej (y = mx + b) polegało na wyizolowaniu y. Zaczęliśmy od odjęcia 3x od obu stron, a następnie podzieliliśmy obie strony przez 2. Otrzymaliśmy równanie y = (-3/2)x + 6, gdzie -3/2 to współczynnik kierunkowy, a 6 to wyraz wolny.
Pamiętajcie, że współczynnik kierunkowy (m) mówi nam o nachyleniu prostej, a wyraz wolny (b) mówi nam, gdzie prosta przecina oś Y. Umiejętność przekształcania równań do postaci kierunkowej prostej jest bardzo ważna w matematyce i może być przydatna w wielu sytuacjach z życia codziennego.
Ćwiczcie! Im więcej przykładów rozwiążecie, tym łatwiej będzie wam to przychodziło. Nie zrażajcie się początkowymi trudnościami. Matematyka to umiejętność, którą nabywa się przez praktykę i wytrwałość. Powodzenia!
