Cześć! Dzisiaj zajmiemy się rozwiązywaniem równań, a konkretnie nauczymy się, jak wyznaczyć wartość y z równania postaci 2x + 3y = 9. Nie martw się, brzmi to skomplikowanie, ale krok po kroku zobaczymy, że to nic trudnego!
Co to jest równanie?
Zacznijmy od podstaw. Równanie to takie matematyczne stwierdzenie, w którym po obu stronach znaku równości (=) mamy wyrażenia o tej samej wartości. Wyobraź sobie wagę szalkową. Równanie to jakby waga, która jest w równowadze. To co jest po lewej stronie znaku równości, musi ważyć tyle samo, co to co jest po prawej.
Na przykład: 5 + 2 = 7. To jest równanie! Po lewej stronie mamy 5 + 2, co daje 7. Po prawej stronie mamy 7. Wszystko się zgadza!
Zmienne
W równaniach często pojawiają się zmienne. Zmienna to litera (np. x, y, z, a, b), która zastępuje nieznaną liczbę. Naszym celem jest najczęściej odgadnięcie, jaką wartość ma ta zmienna, żeby równanie było prawdziwe.
Pomyśl o tym jak o zagadce: "Jaka liczba plus 3 daje 8?". Możemy to zapisać jako równanie: x + 3 = 8. Rozwiązaniem jest x = 5, bo 5 + 3 = 8.
Równanie z dwiema zmiennymi
Teraz przejdźmy do równań z dwiema zmiennymi, takich jak 2x + 3y = 9. W tym równaniu mamy dwie zmienne: x i y. To oznacza, że mamy więcej niż jedno możliwe rozwiązanie. x i y mogą przyjmować różne wartości, ale tak, żeby cały czas zachować równość.
Wyobraź sobie, że idziesz do sklepu kupić jabłka i banany. Jabłko kosztuje 2 zł, a banan 3 zł. Masz 9 zł. Ile jabłek (x) i bananów (y) możesz kupić? To dokładnie opisuje nasze równanie: 2x + 3y = 9.
Możesz kupić:
- 0 jabłek i 3 banany (2 * 0 + 3 * 3 = 9)
- 3 jabłka i 1 banan (2 * 3 + 3 * 1 = 9)
- Możliwe są też rozwiązania, które nie są liczbami całkowitymi, np. 1.5 jabłka i 2 banany (2 * 1.5 + 3 * 2 = 9), choć w praktyce kupienie połowy jabłka może być trudne.
Jak wyznaczyć y?
Kiedy mówimy o "wyznaczeniu y", mamy na myśli przekształcenie równania tak, żeby y znajdowało się samo po jednej stronie równania, a reszta po drugiej. Innymi słowy, chcemy otrzymać równanie w postaci y = ... (jakieś wyrażenie z x).
Oto jak to zrobić krok po kroku dla równania 2x + 3y = 9:
- Krok 1: Pozbądź się 2x z lewej strony. Żeby to zrobić, odejmujemy 2x od obu stron równania. Pamiętaj, że to co robisz z jednej strony równania, musisz zrobić z drugiej, żeby waga (równanie) pozostała w równowadze. 2x + 3y - 2x = 9 - 2x Po uproszczeniu dostajemy: 3y = 9 - 2x
- Krok 2: Podziel obie strony równania przez 3. Chcemy, żeby po lewej stronie było tylko y, a teraz mamy 3y. Dzieląc obie strony przez 3, pozbędziemy się tej 3. (3y) / 3 = (9 - 2x) / 3 Po uproszczeniu dostajemy: y = (9 - 2x) / 3
- Krok 3 (Opcjonalny): Uprość wyrażenie. Możemy jeszcze trochę uprościć wyrażenie po prawej stronie, dzieląc każdy składnik oddzielnie przez 3: y = 9/3 - (2x)/3 y = 3 - (2/3)x lub y = 3 - (2/3) * x
Gratulacje! Udało nam się wyznaczyć y. Otrzymaliśmy równanie: y = 3 - (2/3) * x. Teraz, znając wartość x, możemy łatwo obliczyć wartość y.
Przykłady
Sprawdźmy to na kilku przykładach:
- Przykład 1: Jeśli x = 0, to y = 3 - (2/3) * 0 = 3 - 0 = 3. Czyli (0, 3) jest rozwiązaniem naszego równania.
- Przykład 2: Jeśli x = 3, to y = 3 - (2/3) * 3 = 3 - 2 = 1. Czyli (3, 1) jest rozwiązaniem naszego równania.
- Przykład 3: Jeśli x = 6, to y = 3 - (2/3) * 6 = 3 - 4 = -1. Czyli (6, -1) jest rozwiązaniem naszego równania.
Dlaczego to robimy?
Wyznaczanie zmiennej y z równania jest bardzo przydatne w wielu sytuacjach. Na przykład, w fizyce często mamy równania opisujące ruch obiektów i chcemy wiedzieć, jak zmienia się położenie (y) w zależności od czasu (x). W ekonomii możemy mieć równanie opisujące zależność między ceną produktu (x) a popytem na ten produkt (y). A w matematyce, wyznaczenie y pozwala nam narysować wykres funkcji na układzie współrzędnych!
Podsumowanie
Pamiętaj, że kluczem do sukcesu w rozwiązywaniu równań jest cierpliwość i dokładność. Wykonuj operacje krok po kroku i pamiętaj, żeby to co robisz po jednej stronie równania, robić też po drugiej. Mam nadzieję, że teraz wyznaczanie y z równania 2x + 3y = 9 jest dla Ciebie jasne i zrozumiałe. Powodzenia w dalszej nauce matematyki!
