Hej! Przygotowujesz się do egzaminu i masz problem z równaniem trygonometrycznym? Nie martw się, to częsty problem! Rozwiążemy je krok po kroku, żebyś poczuł się pewnie.
Podstawy trygonometrii, które musisz znać
Zanim zaczniemy rozwiązywać konkretne równanie, przypomnijmy sobie kilka podstawowych wzorów i pojęć, które będą nam potrzebne.
Funkcje trygonometryczne
Pamiętasz sinus, cosinus, tangens i cotangens? My skupimy się na sinusie i cosinusie. Ważne, żeby znać ich podstawowe wartości dla kątów 0, 30, 45, 60 i 90 stopni. Możesz sobie narysować kółko trygonometryczne, żeby łatwiej to zapamiętać!
Tożsamości trygonometryczne
To są wzory, które pozwalają nam przekształcać wyrażenia trygonometryczne. Najważniejsze to:
- sin2x + cos2x = 1 (jedynka trygonometryczna)
- cos 2x = cos2x - sin2x
- cos 2x = 1 - 2sin2x
- cos 2x = 2cos2x - 1
Zapamiętaj te wzory, bo są kluczowe do rozwiązywania wielu zadań!
Rozwiązujemy równanie: 2cos 2x + 5sinx + 4 = 0
No to do dzieła! Nasze równanie to: 2cos 2x + 5sinx + 4 = 0. Wygląda trochę strasznie, ale spokojnie, poradzimy sobie.
Krok 1: Uproszczenie wyrażenia z cos 2x
Widzimy, że mamy cos 2x oraz sinx. Musimy sprowadzić wszystko do jednej funkcji. Użyjemy wzoru na cos 2x, który zawiera sinx. Wybierzemy wzór: cos 2x = 1 - 2sin2x. Dlaczego? Bo w równaniu mamy już sinx, więc po podstawieniu będziemy mieć tylko jedną funkcję trygonometryczną.
Podstawiając do równania, otrzymujemy:
2(1 - 2sin2x) + 5sinx + 4 = 0
Krok 2: Uporządkowanie równania
Teraz musimy uprościć to wyrażenie. Rozwijamy nawias i porządkujemy:
2 - 4sin2x + 5sinx + 4 = 0
-4sin2x + 5sinx + 6 = 0
Krok 3: Podstawienie zmiennej pomocniczej
Żeby było nam łatwiej, podstawmy zmienną pomocniczą. Niech t = sinx. Pamiętaj, że -1 ≤ t ≤ 1, bo sinus przyjmuje wartości tylko z tego przedziału!
Nasze równanie teraz wygląda tak:
-4t2 + 5t + 6 = 0
Krok 4: Rozwiązanie równania kwadratowego
Mamy równanie kwadratowe. Możemy je rozwiązać obliczając deltę (Δ) i pierwiastki:
Δ = b2 - 4ac = 52 - 4 * (-4) * 6 = 25 + 96 = 121
√Δ = 11
Teraz obliczamy t1 i t2:
t1 = (-b - √Δ) / 2a = (-5 - 11) / (2 * -4) = -16 / -8 = 2
t2 = (-b + √Δ) / 2a = (-5 + 11) / (2 * -4) = 6 / -8 = -3/4 = -0.75
Krok 5: Sprawdzenie warunków i powrót do zmiennej x
Pamiętamy, że t = sinx i -1 ≤ t ≤ 1. Sprawdzamy, które z naszych rozwiązań spełniają ten warunek.
t1 = 2 nie spełnia warunku (2 > 1), więc odrzucamy to rozwiązanie.
t2 = -3/4 = -0.75 spełnia warunek (-1 ≤ -0.75 ≤ 1), więc jest to poprawne rozwiązanie.
Teraz wracamy do zmiennej x. Mamy:
sinx = -3/4
Krok 6: Znalezienie rozwiązań dla x
Musimy znaleźć takie kąty x, dla których sinx = -3/4. Do tego potrzebujemy funkcji arcsin (arkus sinus), czyli funkcji odwrotnej do sinusa. Kalkulator pomoże nam znaleźć wartość arcsin(-3/4).
Oznaczmy α = arcsin(-3/4). Pamiętaj, że arcsin daje nam kąt z przedziału [-π/2, π/2].
Wtedy ogólne rozwiązanie równania sinx = -3/4 to:
x = α + 2kπ lub x = π - α + 2kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Możesz to sobie zwizualizować na kółku trygonometrycznym. Sinus jest ujemny w III i IV ćwiartce.
Podsumowanie
Gratulacje! Udało nam się rozwiązać równanie trygonometryczne!
Kluczowe kroki to:
- Użycie odpowiednich tożsamości trygonometrycznych, żeby sprowadzić równanie do jednej funkcji (w naszym przypadku sinx).
- Podstawienie zmiennej pomocniczej, żeby uprościć równanie.
- Rozwiązanie równania kwadratowego.
- Sprawdzenie warunków dla zmiennej pomocniczej (pamiętaj o przedziale wartości sinusa i cosinusa!).
- Powrót do zmiennej x i znalezienie ogólnych rozwiązań.
Pamiętaj, ćwiczenie czyni mistrza! Rozwiąż kilka podobnych zadań, żeby utrwalić sobie te kroki. Powodzenia na egzaminie!
