Hej maturzyści! Czas na powtórkę z matematyki dla 2 klasy liceum. Damy radę!
Funkcje
Definicja i własności
Funkcja to przyporządkowanie każdemu elementowi ze zbioru X dokładnie jednego elementu ze zbioru Y.
Zbiór X to dziedzina funkcji.
Zbiór Y to przeciwdziedzina funkcji.
Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich y, dla których istnieje x takie, że f(x) = y.
Miejsce zerowe funkcji to taki argument x, dla którego f(x) = 0.
Funkcja jest rosnąca, gdy dla każdych x1 i x2, gdzie x1 < x2, zachodzi f(x1) < f(x2).
Funkcja jest malejąca, gdy dla każdych x1 i x2, gdzie x1 < x2, zachodzi f(x1) > f(x2).
Funkcja jest stała, gdy dla każdych x1 i x2 zachodzi f(x1) = f(x2).
Funkcja jest parzysta, gdy dla każdego x z dziedziny zachodzi f(-x) = f(x). Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY.
Funkcja jest nieparzysta, gdy dla każdego x z dziedziny zachodzi f(-x) = -f(x). Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
Funkcja liniowa
Funkcja liniowa ma postać f(x) = ax + b, gdzie a to współczynnik kierunkowy, a b to wyraz wolny.
Jeśli a > 0, funkcja jest rosnąca.
Jeśli a < 0, funkcja jest malejąca.
Jeśli a = 0, funkcja jest stała.
b to punkt przecięcia z osią OY.
Proste są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe.
Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1.
Funkcja kwadratowa
Funkcja kwadratowa ma postać f(x) = ax2 + bx + c, gdzie a ≠ 0.
Delta (Δ) to b2 - 4ac.
Jeśli Δ > 0, funkcja ma dwa miejsca zerowe: x1 = (-b - √Δ) / 2a i x2 = (-b + √Δ) / 2a.
Jeśli Δ = 0, funkcja ma jedno miejsce zerowe: x0 = -b / 2a.
Jeśli Δ < 0, funkcja nie ma miejsc zerowych.
Wierzchołek paraboli ma współrzędne (p, q), gdzie p = -b / 2a i q = -Δ / 4a.
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej: f(x) = a(x - p)2 + q.
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej (gdy Δ > 0): f(x) = a(x - x1)(x - x2).
Geometria analityczna
Wektory
Wektor to uporządkowana para punktów.
Współrzędne wektora AB to (xB - xA, yB - yA).
Długość wektora v = (a, b) to |v| = √(a2 + b2).
Dodawanie wektorów: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).
Mnożenie wektora przez liczbę: k * (a, b) = (ka, kb).
Iloczyn skalarny wektorów u = (a, b) i v = (c, d) to u · v = ac + bd.
Wektory są prostopadłe, gdy ich iloczyn skalarny jest równy 0.
Prosta
Równanie ogólne prostej: Ax + By + C = 0.
Równanie kierunkowe prostej: y = ax + b.
Odległość punktu P(x0, y0) od prostej Ax + By + C = 0: d = |Ax0 + By0 + C| / √(A2 + B2).
Okrąg
Równanie okręgu o środku S(a, b) i promieniu r: (x - a)2 + (y - b)2 = r2.
Trygonometria
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do długości przeciwprostokątnej.
Cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do długości przeciwprostokątnej.
Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do długości przyprostokątnej przyległej.
Cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do długości przyprostokątnej przeciwległej.
Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°
Pamiętaj o tabelce z wartościami! To podstawa!
Tożsamości trygonometryczne
Jedynka trygonometryczna: sin2α + cos2α = 1.
tg α = sin α / cos α.
ctg α = cos α / sin α.
Planimetria
Pola figur płaskich
Trójkąt: P = 1/2 * a * h.
Kwadrat: P = a2.
Prostokąt: P = a * b.
Romb: P = a * h lub P = 1/2 * d1 * d2.
Równoległobok: P = a * h.
Trapez: P = 1/2 * (a + b) * h.
Koło: P = πr2.
Twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym: a2 + b2 = c2, gdzie c to długość przeciwprostokątnej.
Podobieństwo trójkątów
Dwa trójkąty są podobne, jeśli ich odpowiednie kąty są równe, a długości odpowiednich boków są proporcjonalne.
Stereometria
Objętość i pole powierzchni brył
Prostopadłościan: V = a * b * c, Pc = 2(ab + bc + ac).
Sześcian: V = a3, Pc = 6a2.
Graniastosłup prosty: V = Pp * H, Pc = 2Pp + Pb.
Ostrosłup: V = 1/3 * Pp * H, Pc = Pp + Pb.
Walec: V = πr2H, Pc = 2πr2 + 2πrH.
Stożek: V = 1/3 * πr2H, Pc = πr2 + πrl.
Kula: V = 4/3 * πr3, Pc = 4πr2.
Podsumowanie
Powtórz definicje funkcji i ich własności.
Przypomnij sobie wzory na pola figur i objętości brył.
Przećwicz zadania z geometrii analitycznej.
Zapamiętaj wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów specjalnych.
Powodzenia na egzaminie! Pamiętaj, dasz radę!
